Matrice carrée inversible de taille 2 x 2

Définition

Soit \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\)  une matrice carrée de taille \(2\) . On appelle déterminant de  \(A\) le \(\) réel noté \(\det(A)\)  défini par \(\det(A)= ad-bc\) .

Propriété   Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice carrée de taille 2

Soit \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\)  une matrice carrée de taille \(2\) .  \(A\) est inversible si, et seulement si, \(\det(A)\ne0\) .

On a alors \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)

Preuve

La preuve peut se faire de manière purement calculatoire.
Soit \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\)  une matrice carrée de taille \(2\) . Supposons que \(A\)  est inversible. On écrit alors  \(A^{-1}=\begin{pmatrix} a'&b'\\c'&d' \end{pmatrix}\) et on sait que  \(AA^{-1}=I_2\)  donc 
\(\left \{ \begin{array}{r } aa'+bc' = 1 \text{ (E1)} \\ ab'+bd' = 0 \text{ (E2)}\\ ca'+dc' = 0 \text{ (E3)}\\ cb'+dd' = 1\text{ (E4)} \end{array} \right .\)

C’est un système de  \(4\) équations à  \(4\) inconnues  \((a', b', c', d')\) qu’il faut résoudre. Cependant, en regardant bien les équations, on voit qu'on a deux systèmes de  \(2\) équations à  \(2\) inconnues.

• Avec les équations  \(\text{(E1)}\) et  \(\text{(E3)}\) , on a : \(\left \{ \begin{array}{}aa'+bc' = 1\\ ca'+dc' = 0 \end{array} \right .\)
  Par combinaisons linéaires, on élimine l’inconnue  \(c'\) de la première équation et l’inconnue  \(a'\) de la deuxième équation \(\left \{ \begin{array}{} (ad-bc)a' = d\\ (ad-bc)c' = -c \end{array} \right .\) .
• Avec les équations  \(\text{(E2)}\) et  \(\text{(E4)}\) , on a : \(\left \{ \begin{array}{} ab'+bd' = 1\\ cb'+dd' = 0 \end{array} \right .\)
  Par combinaisons linéaires, on élimine l’inconnue  \(d'\)  de la première équation et l’inconnue  \(b'\)  de la deuxième équation \(\left \{ \begin{array}{} (ad-bc)b' = -b\\ (ad-bc)d' = a \end{array} \right .\) .

Finalement, ce système a une solution unique si, et seulement si,  \(ad-bc\ne0\) donc \(\det(A)\ne0\) .

Dans ce cas, la solution est :  \(\left \{ \begin{array}{r } a' = \frac{d}{\det{A}} \\ b' = \frac{-b}{\det{A}} \\ c' =\frac{-c}{\det{A}} \\ d' = \frac{a}{\det{A}} \end{array} \right .\)

Donc, si  \(A\) est inversible,  \(\det(A)\ne0\) et il n’y a qu’une possibilité pour \(A^{-1}\) , c’est la forme proposée.
Réciproquement, supposons que  \(\det(A)\ne0\) et posons \(B=\dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}\) .
On peut alors vérifier, en posant les calculs, que \(AB=BA=I_2\)  donc  \(A\) est inversible et \(A^{-1}=B\) .